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轉動慣量

轉動慣量(Moment of Inertia)，又稱質量慣性矩，簡稱慣距，是經典力學中物體繞軸轉動時慣性的量度，常用用字母I或J表示。轉動慣量的SI單位為kg·m2。對于一個質點，I=mr2，其中，m是其質量，r是質點和轉軸的垂直距離。

和線性動力學中的質量相類似，在旋轉動力學中，轉動慣量的角色相當于物體旋轉運動的慣性，可用于建立角動量、角速度、力矩和角加速度等數個量之間的關系。

對于規則物體，其轉動慣量可以按照相應公式直接計算；對于外形復雜和質量分布不均的物體，轉動慣量可通過實驗方法來測定。實驗室中最常見的轉動慣量測試方法為三線擺法。

轉動慣量

基本介紹編輯本段

轉動慣量是剛體轉動時慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質量分布及轉軸的位置。剛體的轉動慣量有著重要的物理意義，在科學實驗、工程技術、航天、電力、機械、儀表等工業領域也是一個重要參量。

電磁系儀表的指示系統，因線圈的轉動慣量不同，可分別用于測量微小電流或電量，譬如檢流計、沖擊電流計等。在發動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛星的外形設計上，精確地測定轉動慣量，都是十分必要的。

對于質量分布均勻，外形不復雜的物體，可以從其外形尺寸、質量分布用公式計算出相對于某一確定轉軸的轉動慣量。對于幾何形狀簡單、質量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定轉軸的轉動慣量。而對于外形復雜和質量分布不均勻的物體只能通過實驗的方法來精確地測定物體的轉動慣量，因而實驗方法顯得更為重要。

動力學公式編輯本段

下面先給出一些（定軸轉動的）剛體動力學公式。

角加速度與合外力矩的關系：，式中，M為合外力矩，β為角加速度。

可以看出這個式子與牛頓第二定律具有類似的形式。

角動量：

剛體的定軸轉動動能：

注意：這只是剛體繞定軸的轉動動能，其總動能應該再加上質心平動動能。由這一公式，可以從能量的角度分析剛體動力學的問題。

張量定義編輯本段

剛體繞某一點轉動的慣性可由慣性張量描述。慣性張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉動慣量的大小。為了清晰，這里僅給出繞質心的轉動慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達式。

設有一個剛體A，其質心為C,剛體A繞其質心C的轉動慣量張量

定義為：

該積分遍及整個剛體A，其中，，是剛體質心C到剛體上任一點B的矢徑；表達式是兩個矢量的并矢，而

為單位張量，

是一個典型的單位正交曲線標架；

是剛體的密度。

轉動慣量張量的力矩方程：

設剛體A所受到的繞其質心C的合力矩矢量為：

，剛體A在慣性系下的角速度矢量為

，角加速度矢量為

，A繞其質心的轉動慣量張量為

，則有如下的力矩方程：

將上面的矢量形式的力矩方程向各個坐標軸投影，或者，更確切地說，與各個坐標軸的單位方向矢量相點乘，就可以獲得各個坐標軸分量方向的標量形式的力矩方程。

轉動慣量張量

是一個二階張量，雖然在標架

下它有九個分量，但是因為它是一個對稱張量，故其實際獨立的分量只有六個。

測定方法編輯本段

測定剛體轉動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復擺等。實驗室中最常見的是三線擺法，該方法通過扭轉運動測定物體的轉動慣量，其特點是物理圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體，如機械零件、電機轉子、槍炮彈丸、電風扇的風葉等的轉動慣量都可用三線擺測定。這種實驗方法在理論和技術上有一定的實際意義。

實驗原理

三線擺是在上圓盤的圓周上，沿等邊三角形的頂點對稱地連接在下面的一個較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點上。當上、下圓盤水平三線等長時，將上圓盤繞豎直的中心軸線轉動一個小角度，借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸作扭轉擺動。同時，下圓盤的質心O將沿著轉動軸升降，H是上、下圓盤中心的垂直距離；h是下圓盤在振動時上升的高度；r是上圓盤的半徑；R是下圓盤的半徑；是扭轉角。

由于三懸線能力相等，下圓盤運動對于中心軸線是對稱的，僅分析一邊懸線的運動。用L表示懸線的長度，當下圓盤扭轉一個角度α時，下圓盤的懸線點移動到，下圓盤上升的高度為，與其他幾何參量的關系可作如下考慮。

實驗內容

1）測定儀器常數。

恰當選擇測量儀器和用具，減小測量不確定度。自擬實驗步驟，確保三線擺的上、下圓盤的水平，使儀器達到最佳測量狀態。

2）測量下圓盤的轉動慣量，并計算其不確定度

轉動三線擺上方的小圓盤，使其繞自身軸轉一角度α，借助線的張力使下圓盤作扭擺運動，而避免產生左右晃動。自己擬定測的方法，使周期的測量不確定度小于其它測量量的不確定度。利用公式求出，并推導出不確定度傳遞公式計算的不確定度。

3）測量圓環的轉動慣量

在下圓盤上放上待測圓環，注意使圓環的質心恰好在轉動軸上，測量系統的轉動慣量。測量圓環的質量和內、外直徑。利用式求出圓環的轉動慣量。并與理論值進行比較，求出相對誤差。

4）驗證平行軸定理

將質量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱重疊起來放在下圓盤上，注意使質心與下圓盤的質心重合。測量轉動軸通過圓柱質心時，系統的轉動慣量。然后將兩圓柱對稱地置于下圓盤中心的兩側。測量此時系統的轉動慣量。測量圓柱質心到中心轉軸的距離計算，并與測量值比較。

相關定論編輯本段

轉動慣量詳解及物理意義

先說一說轉動慣量的由來，先從動能說起。大家都知道動能

，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統運動的實際能量。

把

代入

，式中，w是角速度，r是半徑。

在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數個質點，質點與運動整體的重心的距離為r，而再把不同質點積分化得到實際等效的r，得到

。

由于某一個對象物體在運動當中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關于m、r的變量用一個變量K代替,

，得到

，K就是轉動慣量。

平行軸定理

一個物體以角速度ω繞固定軸z軸的轉動同樣可以視為以同樣的角速度繞平行于z軸且通過質心的固定軸的轉動。也就是說，繞z軸的轉動等同于繞過質心的平行軸的轉動與質心的轉動的疊加。

利用平行軸定理可知，在一組平行的轉軸對應的轉動慣量中，過質心的軸對應的轉動慣量最小。垂直軸定理一個平面剛體薄板對于垂直它的平面軸的轉動慣量，等于繞平面內與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉動慣量之和。

表達式:

轉動慣量的量綱為L2M，在SI單位制中，它的單位是

。剛體繞某一點轉動的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉動慣量的大小。

垂直軸定理

薄板的垂直軸定理

一個平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉動慣量，等于繞平面內與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉動慣量之和，這就是垂直軸定理。

垂直軸定理的表達式為：

式中，

分別代表剛體對x,y,z三軸的轉動慣量。

對于非平面薄板狀的剛體，亦有如下垂直軸定理成立：

利用垂直軸定理可對一些剛體對一特定軸的轉動慣量進行較簡便的計算。

剛體對一軸的轉動慣量，可折算成質量等于剛體質量的單個質點對該軸所形成的轉動慣量。由此折算所得的質點到轉軸的距離，稱為剛體繞該軸的回轉半徑κ，其公式為

，式中，M為剛體質量；I為轉動慣量。

除以上兩定理外，常用的還有伸展定則。伸展定則闡明，如果將一個物體的任何一點，平行地沿著一支直軸作任意大小的位移，則此物體對此軸的轉動慣量不變。可以想像，將一個物體，平行于直軸地，往兩端拉開。在物體伸展的同時，保持物體任何一點離直軸的垂直距離不變，則伸展定則闡明此物體對此軸的轉動慣量不變。伸展定則通過轉動慣量的定義式就可以簡單得到。