幾何學(xué)是研究空間結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的學(xué)科。它是數(shù)學(xué)和分析中最基本的研究內(nèi)容之一、代數(shù)學(xué)等具有同樣重要的地位，關(guān)系密切。幾何學(xué)歷史悠久，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等密切相關(guān)。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一種思想。數(shù)學(xué)各個(gè)分支的暫時(shí)發(fā)展趨向于幾何，即用幾何的觀點(diǎn)和思維方法去探索各種數(shù)學(xué)理論。常見的定理有勾股定理歐拉定理斯圖爾特定理。
名稱由來
幾何這個(gè)詞起源于希臘語兩個(gè)詞合起來指的是測量土地，也就是大地測量。后來拉丁語化為“geometry”中文中的“幾何”利瑪竇這個(gè)詞最早是在明朝使用的、徐光啟一起翻譯《幾何原本》的時(shí)候，是徐光啟創(chuàng)作的。當(dāng)時(shí)沒有給出依據(jù)后人認(rèn)為，一方面幾何可能是拉丁希臘語GEO的音譯，另一方面因?yàn)椤稁缀卧尽芬灿脦缀蝸斫忉寯?shù)論的內(nèi)容，所以也可能是量級（多少）所以一般認(rèn)為幾何是geometria的聲音、意并譯。
幾何1607年出版的《幾何原本》幾何譯本當(dāng)時(shí)并不流行與此同時(shí)，出現(xiàn)了另一個(gè)三三三五四的玄學(xué)譯本，如狄考文、鄒立文、劉永熙編的《形學(xué)備旨》在當(dāng)時(shí)也有一定的影響。一八五七年，李、在偉烈亞力翻譯的《幾何原本》最后九卷出版后，雖然幾何的名稱受到了一些關(guān)注，但直到20世紀(jì)初，才出現(xiàn)了取代形而上學(xué)一詞的明顯趨勢如1910年在成都第11次印刷時(shí)，徐樹勛將其改名為《形學(xué)備旨》。直到20世紀(jì)中葉，幾乎沒有“形學(xué)”一詞的使用出現(xiàn)。
翻譯者
徐光啟（1562年4月24日－1633年11月10日）
字子賢，號，教名保羅，漢族，明朝南直隸松江府上海縣人，中國明末數(shù)學(xué)家科學(xué)家、農(nóng)學(xué)家、政治家、軍事家，官至禮部尚書、文淵閣大學(xué)士。贈(zèng)太子太保、少保，謚文定。徐光啟也是中西文化交流的先驅(qū)之一他是上海最早的天主教徒，被譽(yù)為“圣教三柱石”之首。
李善蘭（1811.1.22～1882.12.9）
中國清代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、力學(xué)家、植物學(xué)家。原名藍(lán)欣，字方靜，號丘賢，又號庶人．浙江海寧人。清嘉慶十五年十二月二十八日(1811年1月22日)生；光緒八年十月二十九日(1882年12月9日)卒于北京。我從小就喜歡數(shù)學(xué)，然后把杭州作為我所有學(xué)生的考試我拿到了元代著名數(shù)學(xué)家葉莉?qū)懙摹独m(xù)幾何》，我研究了一下，很有成就。道光室相繼被寫入《測圓海鏡》、(《四元解》)(《麟德術(shù)解》)《弧矢啟秘》和《萬圓闡幽》等，都很有名。西安鳳雛住在上海1852年至1859年，與英國漢學(xué)家威廉亞力在上海墨海圖書館翻譯了歐幾里得《對數(shù)探源》最后9卷，并完成了明末徐光啟、利瑪竇未竟之業(yè)。
幾何作圖
公元前5世紀(jì)，雅典的“智者學(xué)派”以上述三大問題為中心，開展研究。正因?yàn)椴荒苡贸咭?guī)來解決，常常使人闖入新的領(lǐng)域中去。例如激發(fā)了圓錐曲線、割圓曲線以及三、四次代數(shù)曲線的發(fā)現(xiàn)。
17世紀(jì)解析幾何建立以后，尺規(guī)作圖的可能性才有了準(zhǔn)則。1837年P(guān).L.旺策爾給出三等分任意角和倍立方不可能用尺規(guī)作圖的證明,1882年C.L.F.von林德曼證明了π的超越性，化圓為方的不可能性也得以確立。1895年（C.）F.克萊因總結(jié)了前人的研究，著《幾何三大問題》(中譯本，1930)一書，給出三大問題不可能用尺規(guī)來作圖的簡明證法，徹底解決了兩千多年的懸案。
雖然如此，還是有許多人不管這些證明，想壓倒前人所有的工作。他們宣稱自己已解決了三大問題中的某一個(gè)，實(shí)際上他們并不了解所設(shè)的條件和不可解的道理。三大問題不能解決，關(guān)鍵在工具的限制，如果不限工具，那就根本不是什么難題，而且早已解決。例如阿基米德就曾用巧妙的方法三等分任意角。下面為了敘述簡單，將原題稍加修改。在直尺邊緣上添加一點(diǎn)p，命尺端為O。設(shè)所要三等分的角是∠ACB，以C為心，Op為半徑作半圓交角邊于A、B；使O點(diǎn)在CA延線上移動(dòng)，p點(diǎn)在圓周上移動(dòng)，當(dāng)尺通過B時(shí)，聯(lián)OpB。
這里使用的工具已不限于尺規(guī)，而且作圖方法也與公設(shè)不合。另外兩個(gè)問題也可以用別的工具解決。
古希臘幾何作圖的三大問題是：
①化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。
②三等分任意角;③倍立方，求作一立方體，使其體積是一已知立方體的兩倍。這些問題的難處，是作圖只許用直尺（沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規(guī)。
經(jīng)過兩千多年的探索，最后才證明在尺規(guī)的限制下，根本不可能作出所要求的圖形。
希臘人強(qiáng)調(diào)作圖只能用直尺、圓規(guī)，有下列原因。①希臘幾何的基本精神，是從極少的基本假定（定義、公理、公設(shè)）出發(fā)，推導(dǎo)出盡可能多的命題。對于作圖工具，自然也相應(yīng)地限制到不能再少的程度。②受柏拉圖哲學(xué)思想的影響。柏拉圖片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在訓(xùn)練智力方面的作用而忽視其實(shí)用價(jià)值。他主張通過幾何學(xué)習(xí)達(dá)到訓(xùn)練邏輯思維的目的，因此工具要有所限制，正象體育競賽要有器械的限制一樣。③以畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為代表的希臘人認(rèn)為圓是最完美的平面圖形，圓和直線是幾何學(xué)最基本的研究對象。有了尺規(guī)，圓和直線已經(jīng)能夠作出，因此就規(guī)定只使用這兩種工具。歷史上最早明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯，以后逐漸成為一種公約，最后總結(jié)在歐幾里得的《幾何原本》之中。
幾何原本
歐幾里得在公元前300年左右，曾經(jīng)到亞歷山大城教學(xué)，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數(shù)學(xué)，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當(dāng)時(shí)所能知道的一切幾何事實(shí)，按照柏拉圖和亞里士多德提出的關(guān)于邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴(yán)密系統(tǒng)的理論，寫成了數(shù)學(xué)史上早期的巨著——《幾何原本》。
歷史意義
《幾何原本》的偉大歷史意義在于，它是用公理法建立起演繹的數(shù)學(xué)體系的最早典范。在這部著作里，全部幾何知識都是從最初的幾個(gè)假設(shè)除法、運(yùn)用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發(fā)表開始，幾何才真正成為了一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。
幾何原本內(nèi)容
歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內(nèi)接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術(shù)得里論；最后講述立體幾何的內(nèi)容。
從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認(rèn)為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標(biāo)準(zhǔn)教科書。屬于《幾何原本》內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或簡稱為歐式幾何。
主要的特色
《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴(yán)格的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括作圖和定理）。《幾何原本》第一卷列有23個(gè)定義，5條公理，5條公設(shè)。（其中最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最著名的長達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。）
這些定義、公理、公設(shè)就是《幾何原本》全書的基礎(chǔ)。全書以這些定義、公理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個(gè)部分的。比如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫明什么是已知、什么是求證。都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進(jìn)行邏輯推理給予仔細(xì)證明。
幾何論證的方法
關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時(shí)候成立的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實(shí)開始，逐步的導(dǎo)出要證明的事項(xiàng)；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過的事實(shí)相矛盾或和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來命題的結(jié)論是正確的，也稱作反證法。
歐幾里得《幾何原本》的誕生在幾何學(xué)發(fā)展的歷史中具有重要意義。它標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。
幾何基礎(chǔ)
人們對《幾何原本》中在邏輯結(jié)果方面存在的一些漏洞、破綻的發(fā)現(xiàn)，正是推動(dòng)幾何學(xué)不斷向前發(fā)展的契機(jī)。最后德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在他1899年發(fā)表的《幾何基礎(chǔ)》一書中提出了一個(gè)比較完善的幾何學(xué)的公理體系。這個(gè)公理體系就被叫做希爾伯特公理體。
希爾伯特不僅提出了—個(gè)完善的幾何體系，并且還提出了建立一個(gè)公理系統(tǒng)的原則。就是在一個(gè)幾何公理系統(tǒng)中，采取哪些公理，應(yīng)該包含多少條公理，應(yīng)當(dāng)考慮如下三個(gè)方面的問題：
第一，共存性(和諧性)，就是在一個(gè)公理系統(tǒng)中，各條公理應(yīng)該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統(tǒng)中。
第二，獨(dú)立性，公理體系中的每條公理應(yīng)該是各自獨(dú)立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。
第三，完備性，公理體系中所包含的公理應(yīng)該是足夠能證明本學(xué)科的任何新命題。
這種用公理系統(tǒng)來定義幾何學(xué)中的基本對象和它的關(guān)系的研究方法，成了數(shù)學(xué)中所謂的“公理化方法”，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。
公理化的方法給幾何學(xué)的研究帶來了一個(gè)新穎的觀點(diǎn)，在公理法理論中，由于基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什么，只專門研究抽象的對象之間的關(guān)系、性質(zhì)。從公理法的角度看，我們可以任意地用點(diǎn)、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系等，使這些關(guān)系滿足公理系統(tǒng)中所規(guī)定的要求，這就構(gòu)成了幾何學(xué)。
因此，凡是符合公理系統(tǒng)的元素都能構(gòu)成幾何學(xué)，每一個(gè)幾何學(xué)的直觀形象不止只有—個(gè)，而是可能有無窮多個(gè)，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學(xué)的解釋，或者叫做某種幾何學(xué)的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學(xué)的時(shí)候，并不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。
就此，幾何學(xué)研究的對象更加廣泛了，幾何學(xué)的含義比歐幾里得時(shí)代更為抽象。這些，都對近代幾何學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響。
